巡回セールスマン多面体は完全グラフＫnに対応している．この多面体は（ｎ−１）！／２個の頂点をもつnＣ2−ｎ＝ｎ（ｎ−３）／２次元の多面体である．

　ところで，ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）である．完全グラフＫnは正ｎ角形にすべての対角線を引くことと同じであって，ｎ個の点からなり，ｋ次元胞の数はｆk＝（ｎ，ｋ＋１）である．

　したがって，巡回セールスマン多面体はｎ−１次元単体とは明らかに異なるものである．

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【雑感】正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができるが，正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる．

　この図はＫ5と呼ばれる完全グラフである．グラフ理論を知っている人にとって，Ｋ5とＫ3,3を含むグラフはどうやっても平面グラフにはならない（クラトウスキーの定理）ことは常識的なことである．

　グラフ理論を知っているひとならば，完全グラフＫ5と答えるかもしれない．しかし，それでもイメージは貧困である．幾何学者にとっては，この図形は４次元正単体の投影図そのものなのである．もっといえば，ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフＫn+1とみなすことができるのである．

　もし，この図が５つの四面体の結合にみえたなら，あなたも立派な幾何学者である．そこで格言，「この五角形が４次元正単体に見えぬ者は高次元幾何学の門をくぐるなかれ」

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