単純循環連分数

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］

で表される数Ｌを求めてみることにしましょう．

　　Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝１／（ｂ＋Ｒ）

　　Ｒ^2＋ｂＲ−１＝０　→　Ｒ＝（−ｂ＋（ｂ^2＋４）^(1/2)）／２

　　Ｌ＝ａ＋Ｒ＝ａ−ｂ／２＋（ｂ^2／４＋１）^(1/2)

　同様に，２項が循環する連分数は

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］

　　Ｌ＝ａｂ−ｂｃ／２＋（（ｂｃ）^2／４＋ｂｃ）^(1/2)

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　循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実は，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．

　　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

　このことから，最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されるものと考えられます．

　このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

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　　√１３＝［３；１，１，１，１，６，・・・］

　　√７４＝［８；１，１，１，１，１６，・・・］

　　√１８５＝［１３；１，１，１，１，２６，・・・］

　　√３４６＝［１８；１，１，１，１，３６，・・・］

　　√４１＝［６；２，２，１２，・・・］

　　√１３０＝［１１；２，２，２２，・・・］

　　√２６９＝［１６；２，２，３２，・・・］

　　√４５８＝［２１；２，２，４２，・・・］

　なお，２次の無理数には循環連分数が対応しますが，連分数による実数の最良近似は解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．

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