積分型の関数不等式に一般化されることによって、幾何学のみならず解析学の舞台にも上がれることになる。積分型の関数不等式の利点は次元が出てこないことである（次元によらず評価されていることにある, dimension free form）．

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【１】ハーディーの不等式

　p>1とする。

　　∫(0,∞)|f(t)|^pdt≧(1-1/p)^p∫(0,t)(1/t・∫(0,t)|f(x)|^pdx)^pdt

∫(0,t)(1/t・∫(0,t)|f(x)|^pdx)は平均値

u(t)=∫(0,t)f(x)dx, u(0)=0とおけば

　　∫(0,∞)|u'(t)|^pdt≧(1-1/p)^p∫(0,∞)|u(t)|^p/t^pdt

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　p>1とする。

　　∫(0,∞)f(t)^p・t^(p-r)dt≧(|r-1|/p)^p∫(0,∞)F(t)^p/t^rdt

F(t)=∫(0,t)f(s)ds,r＞1

F(t)=∫(t,∞)f(s)ds,r＜1

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【２】ハーディーの離散型不等式

Σ(1,∞)xi^p≧(1-1/p)^pΣ(1,∞){(x1+x2+・・・+xn)/n}^p

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【３】ハーディーの重み付き不等式

p>1とする。重みαを導入すると

α＜1-/pのとき

　　∫(0,∞)|u'(t)|^pt^αpdt≧(1-α-1/p)^p∫(0,∞)|u(t)|^pt^(α-1)pdt

　　∫(0,∞)|f(t)|^pt^αpdt≧(1-α-1/p)^p∫(0,∞){∫(0,t)|f(x)|^pdx)^pt(α-1)pdt

α＞1-/pのとき

　　∫(0,∞)|u'(t)|^pt^αpdt≧(α-1+1/p)^p∫(0,∞)|u(t)|^pt^(α-1)pdt

　　∫(0,∞)|f(t)|^pt^αpdt≧(α-1+1/p)^p∫(0,∞){∫(t,∞)|f(x)|^pdx)^pt(α-1)pdt

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