ブルン・ミンコフスキーの不等式はPrekopa-Leindlerの不等式として積分型の関数不等式に一般化されたことによって、幾何学のみならず解析学の舞台にも上がることになった

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【５】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　一般のｎ次元図形に対してもミンコフスキー和の不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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【６】Prekopa-Leindlerの不等式

　ｆ，ｇ，ｈが非負な可測な関数で，すべてのｘ，ｙに対して

　　ｈ（（１−ｔ）ｘ＋ｔｙ）≧ｆ（ｘ）^1-tｇ（ｙ）^t　　　（０≦ｔ≦１）

を満たすとき，

　　∫ｈ≧（∫ｆ）^1-t（∫ｇ）^t

が成り立つ．

　ｆ，ｇ，ｈをそれぞれＡ，Ｂ，（１−ｔ）Ａ＋ｔＢの特性関数とすると

　　∫ｈ≧（１−ｔ）（∫ｆ）＋ｔ（∫ｇ）≧（∫ｆ）^1-t（∫ｇ）^t

から

　　ｖｏｌ（（１−ｔ）Ａ＋ｔＢ）＝ｖｏｌ（Ａ）^1-t×ｖｏｌ（Ｂ）^t

が得られる．

　これはブルン・ミンコフスキーの不等式

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

の別の形（dimension free form of Brunn-Minkowski）である．Prekopa-Leindlerの不等式の利点は次元が出てこないことである（次元によらず評価されていることにある）．

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