平面図形の等周不等式はＬ^2≧４πＡ，空間図形の等周不等式はＳ^2≧３６πＶ^2で与えられる．与えられた体積を持つ凸体の中で、球体が表面積最小だとわかる。つまり、ブルン・ミンコフスキーの不等式から等周不等式が従うのである．

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【１】等周不等式

　任意のｎ次元の等周不等式は，

　　Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn　　　（ｖnはｎ次元単位球の体積）

　　　　　　　　　＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)＝Ｃn

で表されます．

　ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

がわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

　また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，

　　Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）

で定義されます．ここで，平均曲率の積分を

　　Ｍ＝∫Ｈｄｓ

で表すと，ミンコフスキーの不等式

　　Ｓ^2−３ＶＭ≧０

　　Ｍ^2−４πＳ≧０

これから直ちに

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が導かれます．

　ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

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