【２】凸体の点対称化

　凸体Ｋを原点の周りで１８０°回転させて得られる図形を−Ｋあるいはｒｏｔ（Ｋ）で表す．Ｋに対して点対称化図形Ｋ~を

　　Ｋ~＝１／２（Ｋ＋（−Ｋ））

で定義する．図形−Ｋの原点を図形Ｋの境界に沿って動かすときのミンコフスキー和であるが，前述した−ＫからＫへの連続変形のｔ＝１／２の場合であり，図形Ｋが四角形のときＫ~は八角形，Ｋが四面体のときＫ~は立方八面体状図形になる．

　このとき，

　　｜Ｋ｜≦｜Ｋ~｜

が成り立つ（等号成立は−ＫがＫの平行移動であるとき）．

　また，Ｋが２次元図形であれば周長と直径は不変である．

　　Ｌ（Ｋ）＝Ｌ（Ｋ~），Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）

３次元図形であれば直径は不変である．

　　Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）　　（表面積は不変ではない）

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【３】マクハの不等式

　図形Ｋの内部直径とはＫ内の２点Ｐ，Ｑの距離の最大値である．外部直径とはＫの２点Ｘ，Ｙの線分の長さの最大値である．別ないい方をすればＫに住んでいる人にとっての直径が内部直径，Ｋを含む空間に住んでいる人から見た最大幅が外部直径である．

　半径Ｒの球面の場合，内部直径Ｄinは大円の半分であるからπＲ，外部直径Ｄoutは北極と南極を結ぶ線分の長さ２Ｒである．

　　Ｄin／Ｄout＝π／２

ルーローの三角形のような定幅図形でも

　　Ｄin／Ｄout＝π／２

が成り立つ．

　一般の空間図形の場合は

　　Ｄin／Ｄout≦π／２

が成り立つことが知られている．等号は定幅曲面で回転面になっているものである．

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【４】アレクサンドロフ予想

　空間内のなめらかな閉曲面Ｍの面積Ａと内部直径Ｄについて

　　Ａ／Ｄ^2＜π／２

が成り立つだろう（等号はＭが２枚の円板に退化した場合）．

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