［参］安藤哲哉「不等式」数学書房

には，（３次）ムーアヘッドの不等式

　　Ｍ（３，０，０）＝（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３

　　Ｍ（２，１，０）＝（ａ^2ｂ＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2）／６

　　Ｍ（１，１，１）＝ａｂｃ

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

（３次）シューアの不等式

　　ａ^k（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ^k（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）＋ｃ^k（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０

から証明できる不等式が掲げられている．　たとえば，・・・

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［１］（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）≧８ａｂｃ

［２］ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）　　　（レムスの不要式）

［３］２（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａｂｃ）≧（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）

［４］ａｂ（ａ＋ｂ−２ｃ）＋ｂｃ（ｂ＋ｃ−２ａ）＋ｃａ（ｃ＋ａ−２ｂ）≧０

［５］（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）≧９ａｂｃ

［６］３（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）≧ａｂｃ＋（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）

［７］３（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）≧（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≧９ａｂｃ

［８］８（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）≧３（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）

［９］（ａ＋ｂ）^3＋（ｂ＋ｃ）^3＋（ｃ＋ａ）^3≧２１ａｂｃ＋ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3≧２４ａｂｃ

［１０］ａ（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）＋ｂ（ｂ−ｃ）（ｂ−ａ）＋ｃ（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）≧０

［１１］（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）＋（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）≧０

［１２］（ａ＋ｂ＋ｃ）^3≧２７（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

が成り立つ．いずれも等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

　４次以上の不等式はムーアヘッドの不等式，シューアの不等式から証明できるとは限らない．

［１３］（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）^2≧３ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）　　　（ニュートンの不要式）

［１４］ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）^2≧２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）^3／３

［１５］ａｂ（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）＋ｂｃ（ｃ−ａ）（ａ−ｂ）＋ｃａ（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）≦０

［１６］ａ^3（ｂ＋ｃ）＋ｂ^3（ｃ＋ａ）＋ｃ^3（ａ＋ｂ）≧２ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）

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［おまけ］

　３次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）（ｘ−ｃ）＝０

が与えられたとき，３変数基本対称式は

　　σ1＝ａ＋ｂ＋ｃ

　　σ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　　σ3＝ａｂｃ

で表される．このとき，

［定理］２７σ3^2−１８σ1σ2σ3＋４σ1^3ａ3＋４σ2^3−σ1^2σ2^2≦０

が成り立つ．等号はａ＝ｂまたはｂ＝ｃまたはｃ＝ａのときに限る．

［証明］左辺＝−（ａ−ｂ）^2（ｂ−ｃ）^2（ｃ−ａ）^2≦０

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