たとえば，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

の左辺も右辺も

　　（ａ^xｂ^yｃ^z＋ａ^xｂ^zｃ^y＋ａ^yｂ^zｃ^x＋ａ^yｂ^xｃ^z＋ａ^zｂ^xｃ^y＋ａ^zｂ^yｃ^x）／６

の特別な場合になっていることに気づかされるであろう．そこで，・・・

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【１】ムーアヘッド平均（算術平均と幾何平均の一般化）

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧０として（ｘ，ｙ，ｚ）を指標と呼ぶことにするが，左辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，０，０），右辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１）である．また，いずれにおいてもｘ＋ｙ＋ｚ＝３という条件が満たされている．

　不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

を

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

と書くことにするが，Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）をムーアヘッド平均と呼ぶことにする．ムーアヘッド平均は算術平均と幾何平均の一般化である．

　次に

　　Ｍ（２，１，０）＝（ａ^2ｂ＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2）／６

について考えてみるが，実は

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

が成立する．そして，このことから

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

よりも

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０），

　　Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

の方が本質的な性質であることがわかる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　さらに

　　Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）≧Ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つための必要十分条件は，指標

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つことである（ム−アヘッドの定理）．

　指標（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）の意味については次節で説明することにするが，ムーアヘッド平均に関する不等式は，算術平均・幾何平均の不等式の一般化であり，対応する指標に関する不等式に帰着されるのである．（ム−アヘッドの定理の条件の必要性の証明はわかるが，十分性の証明は込み入っている）．

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【２】分割とムーアヘッドの定理

　非負整数の非増加列，すなわち，

　　λ＝（λ1，λ2，・・・，λn）

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn＞０

なる整数列を分割（partition）という．

　ここでは

　　λ1≧λ2≧・・・≧λn≧０，ｎ＝３

の場合を扱うことになるので注意してほしい．（≧−１とすることができれば調和平均も扱えるのだが，・・・）

　分割はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）でパラメトライズされるわけであるが，分割λに対して

　　｜λ｜＝Σλi

を分割λのサイズ，λiが零でないｉの総数をｌ（λ）と書いて分割λの長さという．前節の例でいえばｘ＋ｙ＋ｚ＝３が分割のサイズである．

　変数の数が３の場合，サイズ１の分割の集合は

　　Ｓ1＝｛（１，０，０）｝

サイズ２の分割の集合は

　　Ｓ2＝｛（２，０，０），（１，１，０）｝

サイズ３の分割の集合は

　　Ｓ3＝｛（３，０，０），（２，１，０），（１，１，１）｝

である．

　分割の集合を求めるのは難しいことではなく，たとえば，変数の数が３の場合，サイズ６の分割の集合は

　　Ｓ6＝｛（６，０，０），（５，１，０），（４，２，０），（４，１，１），（３，３，０），（３，２，１），（２，２，２）｝

サイズ７の分割の集合は

　　Ｓ7＝｛（７，０，０），（６，１，０），（５，２，０），（５，１，１），（４，３，０），（４，２，１），（３，３，１），（３，２，２）｝

サイズ８の分割の集合は

　　Ｓ8＝｛（８，０，０），（７，１，０），（６，２，０），（６，１，１），（５，３，０），（５，２，１），（４，４，０），（４，３，１），（４，２，２），（３，３，２）｝

となる．

　次に，分割の集合に自然な順序を定義したい．λ≧μとは

　　｜λ｜＝｜μ｜

かつすべてのｉに対して

　　λ1＋・・・＋λi≧μ1＋・・・＋μi

が成り立つこととする（ｉ＝１〜ｎ）．

　すると

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)>(1^4)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)>(21^3)>(1^5)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(31^3)>(2^21^2)>(21^4)>(1^6)

　　 >(3^2)> >(2^3)>

となって｜λ｜≦５の場合には全順序（辞書式順序）であるが，｜λ｜≧６の場合は半順序となることが理解される．（λ1≧λ2≧･･･≧λn≧0として，（λ1，λ2，･･･，λn）のことを（λ1λ2･･･λn），(1111)のことを(1^4)と表している．）

　３変数の場合に限ると，

　　(2)>(1^2)

　　(3)>(21)>(1^3)

　　(4)>(31)>(2^2)>(21^2)

　　(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)

　　(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(2^3)

　　 >(3^2)>

となって，指標（４，１，１）と（３，３，０）の間には大小関係がないということになる．

　３変数６次多項式

　　ａ^4ｂｃ＋ａｂｃ^4＋ａｂ^4ｃ

と

　　ａ^3ｂ^3＋ａ^3ｃ^3＋ｂ^3ｃ^3

については大小関係が成立しないものが存在するのである．

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