【４】ベクトルの積の大きさ＝ベクトルの大きさの積

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

はラグランジュの恒等式（あるいはフィボナッチの等式）と呼ばれるもので，一般に

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2 あるいは(i　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2

と書ける．

　コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2

はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．

　ラグランジュの恒等式は，複素数を使って

　　ｚ1＝ａ＋ｂｉ，ｚ2＝ｃ＋ｄｉ

　　ｚ1ｚ2＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

　　｜ｚ1ｚ2｜＝｜ｚ1｜｜ｚ2｜

と表すことで証明できる．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示している．

　ついでに言うと，三角不等式

　　｜ｚ1＋ｚ2｜≦｜ｚ1｜＋｜ｚ2｜

は

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）−（ａｃ＋ｂｄ）^2≧（ａｄ−ｂｃ）^2≧０

と表すことで証明できる．

　また，４平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

は

　　ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

　　ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

　　ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

　　ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示している．

　しかし，３平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいかない．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからである．

　　｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜

すなわち

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されている（１８９８年）．

　したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのである．

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