【１】ｎ＝２，４，８，・・・，２^m，・・・の場合

　　ａ^4＋ｂ^4≧２ａ^2ｂ^2

　　ｃ^4＋ｄ^4≧２ｃ^2ｄ^2

を辺々を加えると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧２（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）

右辺に対して，算術平均・幾何平均不等式を用いると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

が得られる．

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8−８ａｂｃｄｅｆｇｈ

に対しても，４個ずつの組に分けて考えると

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2

　　ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8≧４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8

　≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2＋４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2≧８ａｂｃｄｅｆｇｈ

が示される．

　この方法を繰り返して使うと，

　　ｎ＝２^m→２^(m+1)→２^(m+2)→・・・

の場合を示すことができる．

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【２】ｎ＝３，・・・，２^m−１，・・・の場合

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

の右辺において，ｄ＝（ａｂｃ）^(1/3)とおくと

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋（ａｂｃ）^(4/3)≧４（ａｂｃ）^(4/3)

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧３（ａｂｃ）^(4/3)

　あるいは，左辺においてｄ^4＝（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）／３とおくと

　　（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）×４／３≧４ａｂｃ｛（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）／３}^(1/4)

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧３（ａｂｃ）^(4/3)

　ａ→ａ^(3/4)，ｂ→ｂ^(3/4)，ｃ→ｃ^(3/4)と置き換えて

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3≧３ａｂｃ

　同様に，ｎ＝２^m→２^m−１→２^m−２→・・・であるから，【１】【２】を併せれば，すべてのｎについて算術平均・幾何平均不等式

　　算術平均≧幾何平均

が証明されたことになる．

　また，調和平均は逆数の算術平均の逆数であるから，算術平均・幾何平均不等式においてａ→１／ａ，ｂ→１／ｂ，ｃ→１／ｃ，・・・と置き換えれば

　　幾何平均≧調和平均

の不等式を間接的に導くことができる．すなわち

　　算術平均≧幾何平均≧調和平均

が成立する．

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