（ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn）／ｎ≧（ａ1ａ2・・・ａn）^(1/n)

また，もっと一般的には，δ1，・・・，δnを

　　δ1＋・・・＋δn＝１

を満たす重みとすると

　　δ1ａ1＋δ2ａ2＋・・・＋δnａn≧ａ1^δ1ａ2^δ2・・・ａn^δn

が有名な算術平均・幾何平均不等式である．

　算術平均・幾何平均不等式のもっとも単純な場合が

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

である．これより

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2≧０

を示す方が簡単であろう．改めてａ→√ａ，ｂ→√ｂと置き換えて

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ≧０

を示すためには，受験参考書に必ず書いてある

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２≧０

という公式を思い出してもらいたい．

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

さらに高次元化した

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

などが，本質的に算術平均と幾何平均の差となっていることは，このコラムの読者であれば既におわかりであろう．

　上に凸な関数では，不等式

　　φ（(a1+a2+･･･+an)/n）≧（φ(a1)＋φ(a2)＋・・・＋φ(an)）／ｎ

が成立する．このことからφ(x)=logxとおくと，算術平均・幾何平均の不等式は容易に証明される．

　また，不等式

　　f(x)=exp(x)-x-1≧0

　　g(x)=x^n-nx+(n-1)=x^n-1-n(x-1)≧0

あるいはｘ→ｘ＋１と置き換えて

　　h(x)=(x+1)^n-1-nx≧0　　（ベルヌーイの不等式）

などを使っても算術平均・幾何平均の不等式を示すことができる．

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【１】ｎ＝２，４，８，・・・，２^m，・・・の場合

　　ａ^4＋ｂ^4≧２ａ^2ｂ^2

　　ｃ^4＋ｄ^4≧２ｃ^2ｄ^2

を辺々を加えると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧２（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）

右辺に対して，算術平均・幾何平均不等式を用いると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

が得られる．

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8−８ａｂｃｄｅｆｇｈ

に対しても，４個ずつの組に分けて考えると

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2

　　ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8≧４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8

　≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2＋４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2≧８ａｂｃｄｅｆｇｈ

が示される．

　この方法を繰り返して使うと，

　　ｎ＝２^m→２^(m+1)→２^(m+2)→・・・

の場合を示すことができる．

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