３乗保型数には

　　ｘ^3＝ｘ→ｘ（ｘ−１）（ｘ＋１）＝０→ｘ＝０，１，−１

の基づく性質がみられるに違いない．

　　ｘ^3＝ｘ

をＺ10で解くとは，Ｚ2とＺ5で解くことに帰着されるが，Ｚ2とＺ5はともに整域なので，３乗保型数の解は２乗保型数をＰn，Ｑnとして，

　　±１，０，±Ｐ，±Ｑ，±（Ｐ−Ｑ）

で尽きているという．

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　４乗保型数には

　　ｘ^4＝ｘ→ｘ（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋１）＝０→ｘ＝０，１

の基づく性質がみられるに違いない．

　　ｘ^4＝ｘ

をＺ10で解くとは，Ｚ2とＺ5で解くことに帰着されるが，ｘ＝０，１を代入すると

　　ｘ^2＋ｘ＋１＝０　（ｍｏｄ２）

　　ｘ^2＋ｘ＋１＝０　（ｍｏｄ５）

はともに解をもたないことがわかる．

　したがって，４乗保型数の解は２乗保型数をＰn，Ｑnとして，

　　１，０，Ｐ，Ｑ

で尽きている．

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　５乗保型数には

　　ｘ^5＝ｘ→ｘ（ｘ−１）（ｘ＋１）（ｘ^2＋１）＝０→ｘ＝０，１，−１

の基づく性質がみられるに違いない．

　　ｘ^5＝ｘ

をＺ10で解くとは，Ｚ2とＺ5で解くことに帰着されるが，ｘ＝０，１，−１を代入すると

　　ｘ^2＋１＝０　（ｍｏｄ２）

は解をもたないが，

　　ｘ^2＋１＝０　（ｍｏｄ５）

は２つの解をもつことがわかる．

　　α＝［・・・１２１２］5

　　β＝［・・・３２３３］5

　したがって，４乗保型数の解は

　　０，１，−１，α，β

の組み合わせによって，２乗保型数をＰn，Ｑnとして，

　　±１，０，±Ｐ，±Ｑ，±（Ｐ−Ｑ）の９個と

　　［・・・５８０７］10

　　［・・・２９４３］10

　　［・・・６４３２］10

　　［・・・３５６８］10

　　［・・・７０５７］10

　　［・・・４１９３］10の６個，計１５個で尽きている．

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