さらにまた，別の例を挙げてみましょう．

「４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．」

［証］

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

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［１］ハッセの原理（局所−大域原理）

　有理数について成り立つことと，実数およびｐ進数について成り立つことが同値の場合，ハッセの原理が成り立つといいます．ハッセ原理（局所−大域原理）とは，すなわち，局所（ｐ進数）を全部集めれば全体（有理数）のことがわかるという原理です．

　２次曲線（種数０）に関してはハッセの原理が成り立ちますから，次の２つの主張は同値です．

　　(1)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす有理数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

　　(2)ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たす実数の組（ｘ，ｙ）が存在し，各素数についても，ａｘ^2＋ｂｙ^2＝１を満たすｐ進数の組（ｘ，ｙ）が存在する．

例：２ｘ^2＋３ｙ^3＝１を満たすような有理数の組は存在するか？

　実数は存在します．たとえば，（ｘ，ｙ）＝（０，１／√３）．しかし，このような３進数（ｘ，ｙ）は存在しません．２ｎ^2−１が３で割れるような整数が存在しないからです．したがって，有理数は３進数の１部でもありますから，このような有理数の組も存在しないということになります．

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［おまけ］どのｐに対しても，３次形式

　　３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^5

はｐ進数体Ｑpで０を表す．

　すなわち，どのｐに対しても，３次形式

　　３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^5＝０　　（ｍｏｄｐ）

は非自明な解をもつ．しかし，整数としては自明な解（０，０，０）しかない．

　同様に，変数の数が１１以上であるどの３次形式も，ｐ進数体Ｑpで０を表す．

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