最下位４桁がｘｘｘｘの数を何回かけても最下位４桁がｘｘｘｘである性質をもつ数としては，

　　（０６２５）^2＝３９０６２５・・・保型数

　　（９３７６）^2＝８７９０９３７６・・・保型数

などがあげられる．

（Ｑ）４桁の数ｘで，

　　ｘ^2＝ｘ　　（ｍｏｄ１００００）を満たすものはいくつあるか？

（Ｑ）ｎ桁の数ｘで，

　　ｘ^2＝ｘ　　（ｍｏｄ１０^n）を満たすものはいくつあるか？

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　　ｘ^2＝ｘ　　（ｍｏｄ１０^n）

←→ｘ（ｘ−１）＝０（ｍｏｄ２^n）かつｘ（ｘ−１）＝０（ｍｏｄ５^n）

←→ｘ＝０または１（ｍｏｄ２^n）かつｘ＝０または（ｍｏｄ５^n）

　したがって，多くとも４個の解しかなく，そのうちの２個はｘ＝０，ｘ＝１である．のこりの２このうち，１個をｘとすると他方は１０^n＋１−ｘであるから，少なくとも一方は１０^n-1以上である．

　ｎ＝４のとき，もうひとつの解は

　　１０００１−９３７６＝０６２５

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