（１０ｋ＋５）^2＝１０（１０ｋ^2＋１０ｋ）＋２５

　　（１００ｋ＋２５）^2＝１０^2（１０^2ｋ^2＋５０ｋ）＋６２５

　　（１０００ｋ＋６２５）^2＝１０^3（１０^3ｋ^2＋１２５０ｋ＋３９０）＋０６２５

となって，この形の保型数はここでおしまいである．

　　（１０ｋ＋６）^2＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ−４）＋７６

　　（１００ｋ＋７６）^2＝１０^2（１０^2ｋ^2＋１５２ｋ＋５４）＋３７６

　　（１０００ｋ＋３７６）^2＝１０^3（１０^3ｋ^2＋７５２ｋ＋５）＋９３７６

となって，この形の保型数はまだ続くが，いつかはおしまいになるだろう．

　実際，

　　（０９３７６）^2＝８７９０９３７６・・・保型数

となる．

　ところで，１桁ごとに式の形が変わるのでは調べるのが大変である．そこで，・・・

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　保型数をｘ＝１０ｋ＋５，１０ｋ＋６

２桁ののときｋ＝１〜９

３桁のときｋ＝１０〜９９

４桁ののときｋ＝１００〜９９９

で表す．

　　（１０ｋ＋５）^2＝１００ｋ（ｋ＋１）＋２５

　　（１０ｋ＋６）^2＝１００ｋ（ｋ＋１）＋２０ｋ＋３６

　ｘがｎ桁の保型数であれば，

　　（１０ｋ＋５）^2−（１０ｋ＋５）＝１００ｋ（ｋ＋１）＋２５−１０ｋ−５＝１００ｋ^2＋９０ｋ＋２０＝ｑ・１０^n

　　（１０ｋ＋６）^2−（１０ｋ＋６）＝１００ｋ（ｋ＋１）＋２０ｋ＋３６−１０ｋ−６＝１００ｋ^2＋１４６ｋ＋３０＝ｑ・１０^n

となるｋを求めることができるかという問題になる．

　概算で済ませたいならば

　　１００ｋ（ｋ＋１）≒ｑ・１０^n≒ｘ^2

　　１００ｋ^2≒ｑ・１０^n≒ｘ^2，ｋ≒ｘ／１０

を求めればよいであるが，結局，元の式ｘ＝１０ｋ＋５，１０ｋ＋６に戻ってしまっただけである．

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