一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√5＋(22+2√5)^1/2

x^2-2√5x+5=22+2√5

x^2-17=2√5(x+1)

x^4-34x^2+289=20(x^2+2x+1)

x^4-54x^2-40x+269=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2-2(11+2√29)^1/2・x+11+22√29=16-2√29+2(55-10√29)^1/2

x^2-5+24√29=2(11+2√29)^1/2・x+2(55-10√29)^1/2

{(11+2√29)^1/2・x+√5(11-2√29)^1/2}^2=(11+2√29)x^2+5(11-2√29)+2√5√5・x=(11+2√29)x^2+10x+5(11-2√29)

=(11x^2+10x+55)+2√29(x^2-5√29)

(x^2-5)^2+48√29(x^2-5)+16704=4(11x^2+10x+55)+8√29(x^2-5√29)

(x^4-10x^2+25)+48√29(x^2-5)+16704=4(11x^2+10x+55)+8√29(x^2-5√29)

(x^4-54x^2-40x+16509)=8√29(x^2-5√29)-8√29(6x^2-30)=-8√29(5x^2-25)=-40√29(x^2-5)

(x^4-54x^2-40x+16509)^2=46400(x^4-10x^2+25)

(x^8+2916x^4+1600x^2+272547081-108x^6-80x^5-33018x^4+4320x^3+1782970x^2-1320720x)

=x^8-108x^6-80x^5-30102x^4+4320x^3+1784570x^2-1320720x+272547081

=46400(x^4-10x^2+25)

x^8-108x^6-80x^5-76502x^4+4320x^3+2248570x^2-1320720x+271387081=0

これがx^4-54x^2-40x+269を因子として持つはずである

方針はわかったが、計算に自信が持てないのでここで打ち切る

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

この等式を示すには、それぞれの数を根とする多項式を見つめ、その最大公約多項式を計算するのが正攻法と思われたが、計算はかなり面倒になる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝