−ｄ＝４３，６７，１６３

はとても面白い性質をもっています．

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

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　　ｅｘｐ（π√１９）＝12^3(3^2-1)^3-744-0.22=884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√４３）＝12^3(9^2-1)^3-744-0.00022=884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝12^3(23^2-1)^3-744-0.0000013=147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝12^3(231^2-1)^3-744-0.00000000000075=262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√１９）＝９６^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

ｅｘｐ（π√１６３）の近似値は１８５９年にエルミートによりすでに求められていたのですが、　１９６５年のエイプリル・フールのジョークとして，マーチン・ガードナーは整数だと主張し，さらに，冗談で１９１４年のラマヌジャンの論文に書かれてあるとしました．それ以降，ｅｘｐ（π√１６３）はラマヌジャン定数という名前で呼べれるようになったとのことです．

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　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

　　｛ｌｏｇ（６４０３２０）^3＋７４４）／π｝^2＝１６３＋２．３２×１０^-33

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π√１６３/３とlog６４０３２０は数値的にとても近いのであるが、

π√3502/6とlog(2Π(xj+(xj^2-1)^1/2)

x1=1071/2+92√34

x2=1553/2+133√34

x3=429+304√2

x4=627/2+221√2

はさらに近い。

π√3502/6とlog(2Π(xj+(xj^2-1)^1/2)〜log(2Π(2xj)

x1=1071/2+92√34〜1071

x2=1553/2+133√34〜1553

x3=429+304√2〜858

x4=627/2+221√2〜627

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