■ディオファントス近似・超ディオファントス近似(その67)
(その66)において,
|α−a/b|=|α^2b^2−a^2|/b^2(α+a/b)≧1/b^2(α+a/b)
の右辺にαが含まれているのは不満である.
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そこで,αはx^2−α=0の解ではなく,
x^n+cn-1x^n-1+cn-2x^n-2+・・・+cn=0
の解で,α<1としても一般性を失わない.a<b
すると,
|α−a/b|≧1/b^2(α+a/b)>1/b^2(1+a/b)=1/b(a+b)
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[雑感]
相対稠密性と一様離散性をまとめると
1/b(a+b)<|α−a/b|<1/2b^2
ここで,左辺はa<bであるから
1/b(a+b)>1/2b^2・・・?
かなりギリギリの議論になっているのだと思う.
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