【１】一様離散性

　無理数√２と任意の有理数ａ／ｂの間には「隙間」があることを示しておきたい．

　ａ，ｂを正の整数と仮定する．２で割っていくと，２ｂ^2は奇数回割り切ることができるが，ａ^2は偶数回しか割れない．このことから，ａ^2≠２ｂ^2

　　｜２ｂ^2−ａ^2｜≧１

が成り立つ．

　したがって，

　　｜√２−ａ／ｂ｜＝｜２ｂ^2−ａ^2｜／ｂ^2（√２＋ａ／ｂ）≧１／ｂ^2（√２＋ａ／ｂ）

　一般に，

　　｜α−ａ／ｂ｜＝｜α^2ｂ^2−ａ^2｜／ｂ^2（α＋ａ／ｂ）≧１／ｂ^2（α＋ａ／ｂ）

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【２】相対稠密性

　一方，ディリクレの近似定理によると，無理数αの近似分数をａ／ｂとすると，

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2

を満たすような無限個の分数ａ／ｂが存在する．

　この定数２をさらに大きくしても，無限の回があることを保証できるだろうか？

　フルヴィッツ・ボレルの定理によると，

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．

　しかし，λ＞√５に対しては

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

の成り立たないαが存在する．黄金比φはそのような一例であるというのが，フルヴィッツ・ボレルの定理の本質である．

　したがって，λ＞√５に対しては

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

には有限個の解しかないのである．

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【３】まとめ

［１］隣り合う２点間の距離は一定値以下（相対稠密性）

［２］隣り合う２点間の距離は一定値以上（一様離散性）

両方の性質を満たす集合をドローネー集合という．

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