さらに，αが黄金比とも√２とも関係していなければ，√（２２１／２５）に大きくすることができる．得られる数列

　　√５，√８，√（２２１／２５），・・・

は３に収束する．

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【１】証明

　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・］を無理数で，黄金比にも√２関係していないとすると，ａn≧３があることになる．

［１］無限個のａnが３以上である場合

　　λn-1＞ａn≧３＞√（２２１／２５）

　以下，大きいｎに対してａn≦２であり，数列｛ａn｝のなかに｛１，２｝が無限にあるとする．

［２］｛１，２，１｝が無限にある場合

　　λn＝２＋１／（１＋１／・・）＋１／（１＋１／・・）≧３＞√（２２１／２５）

　以下，｛１，２，１｝が有限個であるとする．

［３］｛１，２，１｝が無限にある場合，無限個の｛２，２，１，２，２｝が存在する

　　λn＝２＋１／（２＋１／・・）＋１／（１＋１／２＋１／・・）≧２＋１／３＋７／１０＞３＞√（２２１／２５）

　以下，｛２，１，２｝も有限個であるとする．

［４］｛２，２，２｝が無限にある場合，無限個の｛ａ，１，１，２，２，２，ｂ｝，ａ≦２，ｂ≦２が存在する．

　　λn＝２＋１／（１＋１／１＋１／ａ・・）＋１／（１＋１／２＋１／２＋１／ｂ・・）≧２＋４／７＋７／１７＞√（２２１／２５）

　以下，｛２，２，２｝も有限個であるとする．

［５］｛１，１，１｝が無限にある場合，無限個の｛１，１，１，２，２，１，１｝が存在する．

　　λn＝２＋１／（１＋１／１＋１／２・・）＋１／（１＋１／２＋１／１＋１／２・・）≧２＋３／５＋３／８＞√（２２１／２５）

　αは［２：２，１，１，２，２，１，１，・・・］＝（９＋√２２１）／１０と関係しているから，残っているのは

［６］周期｛１，１，２，２｝の連分数の場合，

　　［２：２，１，１，２，２，１，１，・・・］＋［０：１，１，２：２，１，１，２，２，１，１，・・・］＝（９＋√２２１）／１０＋（−９＋√２２１）／１０＝√（２２１／２５）

　　λn＝２＋１／（１＋１／１＋１／２・・）＋１／（１＋１／２＋１／１＋１／２・・）≧２＋３／５＋３／８＞√（２２１／２５）

［６］の場合だけが√（２２１／２５）より大きい数に置き換えることができない．

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