｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．一方，λ＞√５に対しても

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂが有限個しかない無理数αが存在する．

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【１】証明

　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・］を無理数とする．無限個の近似分数ｐn／ｑnに対して

［１］λn＝１／ｑn（ｑnα−ｐn）＞√５となること

［２］√５より大きい数に置き換えると無限個に対しては成ろ立たないこと

を示す必要がある．

［１−１］無限個のａnが３以上である場合

　　λn-1＞ａn≧３＞√５

［１−２］２より大きいａnは有限個だが，２になるａnが無限個ある場合

　　無限個のｎに対してａn+1＝２，ａn≦２，ａn+2≦２であるから

　　λn＝ａn+1＋１／（ａn+2＋１／・・）＋１／（ａn＋１／・・）≧２＋１／３＋１／３＝８／３＞√５

［１−３］十分大きなｍに対して，ａm＝１である場合

　　ｎ＞ｍにおいて，λn＝［１：１，１，１・・・］＋１／［１：１，１，１・・・，ａ1］

　　ｎ→∞のとき，λn＝φ＋１／φ＝√５

［１−３］の場合だけが√５より大きい数に置き換えることができない．

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