ベルトラン仮説とは，ｎ≧２について，ｎと２ｎの間には少なくともひとつの素数が存在するというものである．

　素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を使うと，大きなｎに対して

　　π（２ｎ）−π（ｎ）〜２ｎ／ｌｏｇ２ｎ−ｎ／ｌｏｇｎ〜ｎ／ｌｏｇｎ

が成り立つ．

　右辺はいくらでも大きくなるから，十分大きなｎに対してはベルトラン仮説が成り立つことになる．

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　一方，ルジャンドル予想とは，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間には少なくともひとつの素数が存在するだろうというものである．

　　π（（ｎ＋１）^2）−π（ｎ^2）〜（ｎ＋１）^2／２ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ^2／２ｌｏｇｎ〜ｎ／ｌｏｇｎ

となって，これでよしと思いきや，この誤差評価では不十分であるとのことで，予想はまだ解決されていない．

　その理由は，ベルトラン仮説のダイナミックレンジが

　　２ｎ／ｎ＝２

であるのに対しで，ルジャンドル予想では，ｎ→∞のとき，

　　（ｎ＋１）^2／ｎ^2→１

であるからだそうだ．

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　なお，

　　π（（ｎ＋１）^3）−π（ｎ^3）〜（ｎ＋１）^3／３ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ^3／３ｌｏｇｎ〜ｎ^2／ｌｏｇｎ

　　（ｎ＋１）^3／ｎ^3→１

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