１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数がある（１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した）ことを直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜２ｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎ２）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（２ｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２）

　〜（ｘｌｎｘ−ｘｌｎ２））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜（ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

　〜ｘ／ｌｎｘ

となる．この式の右辺はいくらでも大きくなるから、十分大きなｘに対してベルトラン仮説が成り立つことになる。

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ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数があるという１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した．

ｎ^3と（ｎ＋１）^3−１の間には常に素数が１個存在する（ｘ＞πならば少なくとも９個の素数があるという強い結果もある）

ルジャンドル予想は、素数が存在する範囲をさらに狭めて、ベルトラン仮説を改良しようとしたものである

ルジャンドル予想とは，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間には少なくともひとつの素数が存在するだろうというものである．

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素数定理を用いた誤差評価では不十分であるため、この予想はいまだに解けたわけではないが，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間にある素数の個数は

２（ｎ＝１），２（ｎ＝２），２（ｎ＝３），３（ｎ＝４），２（ｎ＝５），４（ｎ＝６），３（ｎ＝７），４（ｎ＝８），・・・

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