【２】ラマヌジャンの証明

ラマヌジャンは、第2関数に対して

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）+φ（ｘ／３）

を評価することで、ベルトラン予想　　θ（ｘ）−θ（ｘ／２）を解決しました。

　　φ（ｘ）−２φ（√ｘ）≦θ（ｘ）≦φ（ｘ）

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）≦ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！≦φ（ｘ）−φ（ｘ／２）＋φ（ｘ／３）

　ここで，スターリングの公式より

　　２ｘ／３＜ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！＜３ｘ／４

　　θ（ｘ）−θ（ｘ／２）＞ｘ／６−３√ｘ

ｘ＞３２４に対して，ｘ／６−３√ｘ＞０

ｘ＞１６２に対して，θ（２ｘ）−θ（ｘ）＞０

　ｘ＜１６２のばあいは容易に調べられるので，ｘと２ｘの間には素数が心材するというベルトラン仮説は成り立つことがわかる．

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これと「x＞17/2に対して、区間(x,2x)に少なくとも3個の素数が含まれる」の間には大きな開きがあるように感じられるのであるが、

すでに証明されているとのことである。

【１】チェビシェフ・シルベスターの定理(1891年)

十分大きなxに対し、x＜P＜(1+α)xを満たす素数Pがすくなくともひとつ存在する。α=0.092・・・

しかし、アダマール・プーサンの定理より、どんなα＞0に対しても個の不等式は成り立つので、この数は意味がなく

ただ歴史的な興味があるだけである。

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