【２】素数定理の再生性と平均値の定理

　ｎとｋｎの間にある素数の個数を，直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｌｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（ｋｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）

　〜（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｋｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2

　したがって，その平均値は

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ−ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ

となり，素数定理は再生性を有していることがわかる（ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2を除いて，素数定理にほぼ等しくなる）．

　しかしながら，この漸近表現は，たとえばｘ＝１０，ｋ＝１００のとき，

　　π（１０００）−π（１０）〜−４３８．６３７

となって，ｘに較べてｋが小さいときしか意味ともたないことがわかる．

　（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

の誤差が大きいからである．

　ｋが大きいときは

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　　π（１０００）−π（１０）〜１４０．４２２

ベルトラン・チェビシェフの定理（ｋ＝２）は絶妙の間合いということになるのだろう．

　なお，

　　π（ｘ）＝ｘ／ｌｎｘ

として，平均値の定理を適用すると

　　π’（ｘ）＝（ｌｎｘ−１）／（ｌｎｘ）^2

より，１＜θ＜ｋとして

　　（ｌｎθｘ−１）／（ｌｎθｘ）^2＝ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／ｌｎｘ

　　（ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／１ｎｘ）（ｌｎθｘ）^2＝ｌｎθｘ−１

（意味があるかどうかは別にして）ｌｎθｘに関する２次方程式を解くことになる．

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