１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

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【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

　実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．

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　ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数がある（１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した）ことを直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜２ｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎ２）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（２ｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２）

　〜（ｘｌｎｘ−ｘｌｎ２））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜（ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

となる．

　あるいは同じことであるが，各素数はその前の素数の２倍より小さい．

　　ｐk+1＜２ｐk

ｎ番目の素数は

　　ｐn〜ｎｌｎ（ｎ）

であるから，漸近的に２ｎとｎ^2の間に位置する．したがって，素数は偶数よりは少ないが平方数よりは多い．

　もっとよい近似では

　　ｌｎｘ−３／２＜ｘ／π（ｘ）＜ｌｎｘ−１／２

　　ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−３／２）＜ｐn＜ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−１／２））

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【２】ｎとｋｎの間に素数がある

　一般化しておきたい．

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｌｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（ｋｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）

　〜（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｋｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2

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