【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

　実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導きました．ベルトランの問題を拡張する方向としては、一つには範囲を狭めること、もう一つには範囲を固定して素数の個数を大きくすることになります。前者の解としては、ボノリスの近似式がありますが、後者にはx＞17/2に対して、区間(x,2x)に少なくとも3個の素数が含まれることが証明されています。

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【２】ベルトランの仮説とリーマン予想の間に何がある

　ｎと２ｎの間に素数がある（あるいはｎが十分大きければｎと１．５ｎの間に素数がある）は，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」に較べればずいぶん粗い結果ですが，高度の数学を使わずにかなりの結果が導かれるという一例になっています．

　なお，ルジャンドルの予想

　　「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」

は未解決問題として知られています．

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