階乗で表された有理数，たとえば，

　　Ｑ＝（６ｎ＋２）！ｎ！／（３ｎ＋１）！｛（２ｎ）！｝^2

が整数であることを証明するには，この式に対応するガウス記号［・］を用いた不等式

　　［（６ｎ＋２）／ｍ］＋［ｎ／ｍ］≧［（３ｎ＋１）／ｍ］＋２［２ｎ／ｍ］　　　ｍ≧２

が成立するかどうかを調べることになる．

また，ｎ！を素因数分解したとき，ある素数ｐがｐ^rの形で含まれていたとすると，ガウス記号［・］を用いて

　　ｒ＝［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・＋［ｎ／ｐ^s］＋・・・

となる．

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［Ｑ］１００！／１０^25は整数であるか？

［Ａ］１０は２と５の倍数である．１から１００までの間に２の倍数はたくさんあるが，５の倍数はいくつあるだろうか？

　　［１００／５］＝２０

　２５，５０，７５などは２５で割り切れて，ここにもうひとつ，５の倍数が隠れていると考えると

　　ｅ5（１００！）＝［１００／５］＋［１００／５^2］＝２０＋４＝２４

　５の倍数の個数＝１０の倍数の個数と考えることができるから，１０の倍数は２４個．したがって，１００！／１０^24は整数であるか，１００！／１０^25は整数とはならない．

なお，

ｅ2（１００！）＝［１００／２］＋［１００／２^2］＋［１００／２^3］＋［１００／２^4］＋［１００／２^5］＋［１００／２^6］＝９７

一般に，

　　ｅp（ｎ！）＜ｎ／ｐ＋ｎ／ｐ^2＋ｎ／ｐ^3＋・・・

＝ｎ／ｐ（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）

＝ｎ／（ｐ−１）

　ｐ＝２，ｎ＝１００の場合は，９７＜１００となり，真の値９７にかなり近い．

　ｐ＝５，ｎ＝１０００の場合は，２４９＜２５０となり，真の値２４９にかなり近い．

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