１８５２年，チェビシェフは十分大きなｘについて

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）

が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

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　チェビシェフの定理は，大きな数の場合，この近似値の誤差は１１％以下であるというものですが，もちろん現実にはずっと小さいわけです．

　この漸近評価を得るためにチェビシェフは，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）を利用しました．また，この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが，漸近評価の一部は不等式

　　２^2n／（２ｎ＋１）≦2nＣn≦２^2n

に基づいています．上界はΣ2nＣk＝２^2nより明らか，下界は２ｎ＋１個の二項係数の中で2nＣnが最大であり，平均が２^2n／（２ｎ＋１）であることから証明されます．この評価は簡単ではありますが，かなり正確です．

　2nＣnについては，さらに正確な評価を与える

　　２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ

などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果

　　2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）

が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．

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　以下の不等式も，本質的にチェィシェフの議論に従う．

　　θ（ｘ）＝Σｌｏｇｐ

　　φ（ｘ）＝Σθ（ｘ^1/n）

　　Ｔ（ｘ）＝Σｌｏｇｎ＝ｌｏｇ（ｘ！）

　　α（ｘ）＜φ（ｘ）＜φ（ｘ／６）＋α（ｘ）

　　Ａ2ｘ≦φ（ｘ）≦Ａ1ｘ

　　Ａ3ｘ≦θ（ｘ）≦Ａ1ｘ

は

　　φ（ｘ）≦Σ｛φ（ｘ／６^j）−φ（ｘ／６^j+1）｝＜Σα（ｘ／６^j）

≦０．９３５３（１＋１／６＋１／６^2＋・・・）ｘ≦１．１２２４ｘ

　　Ａ1＝１．１２２４

同様に，

　　Ａ2＝０．９０７２，Ａ3＝０．７３

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　チェビシェフの漸近評価では

　　ｃ1＝０．９２１２９，ｃ2＝１．１０５５５

であるが，シルベスターはチェビシェフの使った関数よりも複雑な関数を使うことによって

　　ｃ1＝０．９５６，ｃ2＝１．０４５　　（誤差は５％以下）

　　Ａ1＝１．１０６６７，Ａ2＝０．９９２６

というよい値を得ています．

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