素数が無限個あることがわかりましたが，ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．

　また，素数は，４で割って１余る素数と４で割って３余る素数の２種類に分類できます（２だけは例外）．前者の素数はつねに２つの２乗数の和となりますが，後者の素数は決してその形には表せません．

　（例）１３＝２^2＋３^2，１９＝？^2＋？^2

この定理はフェルマー・オイラーの２平方和定理として知られています．

　それでは，４で割って１余る素数と４で割って３余る素数では，どちらが多いでしょうか？　実は，４で割って１余る素数，４で割って３余る素数の逆数和がともに無限大になり，どちらも無限個あってほぼ同じくらい存在することが示されています．

　　π4,1（ｘ）〜π4,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

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【１】１０を原始根とする素数

１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６）

１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　ここでふたたび，オイラー積のアナログ：アルティン積が出現しました．もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想（素数のうち３７．４％が１０を原始根とする素数である）の成り立つことが証明できることがわかっています．

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