ｎと２ｎの間に素数がある（あるいはｎが十分大きければｎと１．５ｎの間に素数がある）は，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」に較べればずいぶん粗い結果ですが，高度の数学を使わずにかなりの結果が導かれるという一例になっています．

　今回のコラムでは（その７）を（その８）の書式に書き換えてみます．なお，ルジャンドルの予想

　　「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」

は未解決問題として知られています．

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【１】ｎとｋｎの間に素数がある

　それは言い換えると

　　π（ｋｎ）−π（ｎ）≧１，１＜ｋ≦２

で，ｋ＝２の場合がベルトラン・チェビシェフの定理，ｋ＝３／２の場合がボノリスの定理である．

　リーマン予想を仮定すると，コッホの結果より，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　したがって，ｎが十分大きいとき，　　

　　π（ｋｎ）−π（ｎ）≧Ｌｉ（ｋｎ）−Ｌｉ（ｎ）−Ｃ（ｋｎ）^1/2ｌｏｇ（ｋｎ）−Ｃｎ^1/2ｌｏｇｎ

＝∫(kn,n)ｄｕ／ｌｏｇｕ−Ｃ｛（ｋｎ）^1/2ｌｏｇ（ｋｎ）＋ｎ^1/2ｌｏｇｎ｝

＞｛ｋｎ−ｎ｝／ｌｏｇ（ｋｎ）−Ｃ｛（ｋｎ）^1/2ｌｏｇ（ｋｎ）＋ｎ^1/2ｌｏｇｎ｝

　ここで，第１項は（ｋ−１）ｎ／ｌｏｇｎ程度，第２項はＣ（ｋ^1/2−１）ｎ^1/2ｌｏｇｎ程度の大きさであるから

　　π（ｋｎ）−π（ｎ）〜（ｋ−１）ｎ／ｌｏｇｎ

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