１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　また，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

より，もっとよい近似では

　　ｌｎｘ−３／２＜ｘ／π（ｘ）＜ｌｎｘ−１／２

　　ｘ／（ｌｎｘ−３／２）＜π（ｘ）＜ｘ／（ｌｎｘ−１／２）

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【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数がある（１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した）ことを直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜２ｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎ２）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（２ｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２）

　〜（ｘｌｎｘ−ｘｌｎ２））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜（ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎ２／ｌｎｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

となる．

　あるいは同じことであるが，各素数はその前の素数の２倍より小さい．

　　ｐk+1＜２ｐk

ｎ番目の素数は

　　ｐn〜ｎｌｎ（ｎ）

であるから，漸近的に２ｎとｎ^2の間に位置する．したがって，素数は偶数よりは少ないが平方数よりは多い．

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【２】ｎとｋｎの間に素数がある

　ｎと２ｎの間に素数がある・・・．実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導いたことが知られています．

　直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（３ｘ／２）−π（ｘ）〜３ｘ／２ｌｎ（３ｘ／２）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｘ／２ｌｎｘ−３ｘｌｎ（３／２）／２（ｌｎｘ）^2

一方，

　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

であるから，約半分ということになる．

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　一般化しておきたい．

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｌｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（ｋｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）

　〜（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｋｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2

　したがって，その平均値は

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ−ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ

となり，素数定理は再生性を有していることがわかる（ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2を除いて，素数定理にほぼ等しくなる）．

　なお，

　　π（ｘ）＝ｘ／ｌｎｘ

として，平均値の定理を適用すると

　　π’（ｘ）＝（ｌｎｘ−１）／（ｌｎｘ）^2

より，１＜θ＜ｋとして

　　（ｌｎθｘ−１）／（ｌｎθｘ）^2＝ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／ｌｎｘ

　　（ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／１ｎｘ）（ｌｎθｘ）^2＝ｌｎθｘ−１

（意味があるかどうかは別にして）ｌｎθｘに関する２次方程式を解くことになる．

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