素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは，「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

　素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．素数定理は，ｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式ですが，”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

ということです．ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

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【１】素数定理のラフな証明

　素数定理をエラトステネスのふるいという初等的な方法を用いて，ラフなスケッチ程度に誘導してみましょう．ｘまでのすべての整数うちで，奇数，すなわち２で割れない数は大体半分（１−１／２）あります．奇数のうちで，３で割り切れない数は２／３＝１−１／３あります．さらに，残っている数のうち，５で割り切れない数は１−１／５あります．したがって，ｘを越えない素数の個数はこれらの積をすべての素数ｐにわたってとればよいことになり，近似的に

　　Π（１−１／ｐ）・ｘ

に等しくなります．さらに，Π（１−１／ｐ）は近似的に１／ｌｏｇｘに等しくなります．ただし，これを証明するのは微積分を使っても容易ではありません．専門的で，ここで説明することはできそうにありませんから，天下り式に結果だけを示しておきます．このことを認めれば，素数定理π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘが導出されたことになります．

　さらに，素数定理にはもっとうまい近似法があります．素数の密度関数はπ（ｘ）／ｘですから，

　　π（ｘ）／ｘ〜１／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

です．１／ｌｏｇｘが１からｘまでの平均的な素数の密度と考えられますが，これをｘの近くの素数の密度と考え，区間［１，ｘ］を小区間に区切って積分してみます．

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれますが，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっています．

　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

も容易に示すことができます．それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示するとΠ（１−１／ｐ）^(-1)と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^(-1)〜∞

また，ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）．１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）ですから，Σ（１／ｐ）＝∞になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．

　１７３７年，オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることはかんたんにわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．

　さらに，このことを詳しく調べると，

　　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

などがわかってきます．ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．Σ（１／ｐ）はｘに近い整数について，その素因数の個数の近似値を与えるもので，ハーディーとラマヌジャンにより明らかにされています．

　なお，これらの式から

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）

がでますが，両辺の指数をとると前にあげた

　　Π（１−１／ｐ）〜１／ｌｏｇｘ

が得られます．

　ガウスによって基礎づけられ，これらの数学者たちが磨き上げた素数定理はいまのところ不十分かつ不完全で，所詮，概算にすぎません．どれくらい速くこの比が１に近づくのかを特定できないし，ましてやある数まで数えてゆく間にいくつ素数があるのかを正確に教えてくれはしません．そのような精密な公式があれば素数定理より断然優ることはいうまでもありません．

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【２】素数定理の再生性と平均値の定理

　ｎとｋｎの間にある素数の個数を，直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｌｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）−ｘ／ｌｎｘ

　〜（ｋｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎｋ）

　〜（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

　〜（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｋｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2

　したがって，その平均値は

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ−ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2

　　｛π（ｋｘ）−π（ｘ）｝／（ｋ−１）ｘ〜１／ｌｎｘ

となり，素数定理は再生性を有していることがわかる（ｋｌｎｋ／（ｋ−１）（ｌｎｘ）^2を除いて，素数定理にほぼ等しくなる）．

　しかしながら，この漸近表現は，たとえばｘ＝１０，ｋ＝１００のとき，

　　π（１０００）−π（１０）〜−４３８．６３７

となって，ｘに較べてｋが小さいときしか意味ともたないことがわかる．

　（（ｋ−１）ｘｌｎｘ−ｘｌｎｋ））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎｋ／ｌｎｘ）〜（（ｋ−１）ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎｋ／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎｋ／ｌｎｘ）

の誤差が大きいからである．

　ｋが大きいときは

　　π（ｋｘ）−π（ｘ）〜ｋｘ／ｌｎ（ｋｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　　π（１０００）−π（１０）〜１４０．４２２

ベルトラン・チェビシェフの定理（ｋ＝２）は絶妙の間合いということになるのだろう．

　なお，

　　π（ｘ）＝ｘ／ｌｎｘ

として，平均値の定理を適用すると

　　π’（ｘ）＝（ｌｎｘ−１）／（ｌｎｘ）^2

より，１＜θ＜ｋとして

　　（ｌｎθｘ−１）／（ｌｎθｘ）^2＝ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／ｌｎｘ

　　（ｋｘ／ｌｎｋｘ−ｘ／１ｎｘ）（ｌｎθｘ）^2＝ｌｎθｘ−１

（意味があるかどうかは別にして）ｌｎθｘに関する２次方程式を解くことになる．

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