たとえば，１００万個の整数の中に素数が１個も存在しない式は

　　（１０^6＋１）！＋ｎ　　　（ｎ＝２〜１０００００１）

であり，これらはすべて合成数になる．ｎ番目の素数をｐnとすると

　　ｐ1ｐ2・・・ｐn＋２とｐ1ｐ2・・・ｐn＋ｐn-1−１

の間にある数もすべて合成数である．

　一方，ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数があるという１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した．

　今回のコラムではこれを使って，

　　［２^b］，［２^2^b］，［２^2^2^b］，・・・

がすべて素数となる定数ｂ〜１．２５が存在するという証明を紹介したい．

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【１】証明（素数を表す公式）

　ｐ1＝２とし，ｐnを２^Pn-1より大きい最も小さい素数する．このとき，ベルトラン仮説より

　　２^Pn-1＜ｐn≦２^Pn-1+1

である．

　　ｂ＝ｌｏｇｌｏｇ・・・（ｐn）＝ｌｏｇ^n（ｐn）

とすればよい．ｎ→∞のとき，ｂ→１．２５１６４７５９７７９０５・・・であって，

　　ｐ1＝２，ｐ2＝５，ｐ3＝３７，ｐ4＝２^37＋９

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