［Ｑ］四面体のひとつの頂点に集まる３面の頂角α，β，γが与えられたとき，３つの二面角A,B,Cを求めよ．

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球の中心を(0,0,0),頂点を(0,0,1),辺の長さをrとする

頂点座標を

(x1,0,z1)

(x2,y2,z2)

(x3,y3,z3)

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x1^2+(z1-1)^2=r^2

x2^2+y2^2+(z2-1)^2=r^2

x3^2+y3^2+(z3-1)^2=r^2

(x1-x2)^2+y2^2+(z1-z2)^2=2r^2-2r^2cosα

(x1-x3)^2+y3^2+(z1-z3)^2=2r^2-2r^2cosβ

(x2-x3)^2+(y2-y3)^2+(z2-z3)^2=2r^2-2r^2cosγ

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平面を

x+by+cz=dとおくと

c=d

x1+cz1=c

x2+by2+cz2=c

c=x1/(1-z1)

b={-x2+c(1-z2)}/y2={-x2+x1(1-z2)/(1-z1)}/y2

c=x1y2/(1-z1)y2

b={-x2+c(1-z2)}/y2={-x2(1-z1)+x1(1-z2)}/(1-z1)y2

b^2+c^2={x1^2y2^2+x2^2(1-z1)^2+x1^2(1-z2)^2+2x1x2(1-z1)(1-z2)}/(1-z1)^2y2^2

1+b^2+c^2={(1-z1)^2y2^2+x1^2y2^2+x2^2(1-z1)^2+x1^2(1-z2)^2+2x1x2(1-z1)(1-z2)}/(1-z1)^2y2^2

これを最後まで計算するのは結構な作業である。

1+b^2+c^2={(r^2-x1^2)y2^2+x1^2y2^2+x2^2(r^2-x1^2)+x1^2(r^2-x2^2-y2^2)+2x1x2(1-z1)(1-z2)}/(1-z1)^2y2^2

1+b^2+c^2={r^2y2^2+r^2x2^2-x1^2x2^2+r^2x1^2-x1^2x2^2-x1^2y2^2+2x1x2(1-z1)(1-z2)}/(1-z1)^2y2^2

これが正攻法と思われるが、 これにて打ち止め

これで法線ベクトルが決定される。

平面を

x+ey+fz=gとおくと

f=g

x1+fz1=f

x3+ey3+fz3=f

f=x1/(1-z1)

e={-x3+f(1-z3)}/y3={-x3+x1(1-z3)/(1-z1)}/y3

f=x1y3/(1-z1)y3

e={-x3+f(1-z3)}/y3={-x3(1-z3)+x1(1-z3)}/(1-z1)y3

これで法線ベクトルが決定される。

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二面角は

(1,b,c)・(1,e,f)/(1+b^2+c^2)^1/2・(1+e^2+f^2)^1/2

と計算される

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