任意の自然数ｎに対して

［１］ｎが奇数ならば，３ｎ＋１

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２

にする．この工程（ＨＯＴＰＯ手順，half or triple plus one）を繰り返し行うと常に１に到達するというのがコラッツ予想である（１９３０年代）．

　実行されたｎに対しては必ず１で終結している．

６→３→１０→５→１６→８→４→２→１

１０→５→１６→８→４→２→１

１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１

　このアルゴリズムは必ず終結するだろうか？（１→４→２→１というループに入るであろうか？）　１９６０年代に，角谷静夫がこの問題を知り，母校のエール大学に広めたが誰も解決することはできなかった．最近証明が発表されたが，その証明は不完全であって，いまのところ未解決である．

　最後が１にならない数が存在することを証明できれば，自然数を結びつける新たなパターンから予想外の展開に繋がる可能性があるのだそうだ．

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1970年代、テラスとエベレットは

すべての自然数→ほとんどすべての自然数

1に行く→元の数より小さくなる

と、コラッツ予想を弱めた。

そして、確率論的な意味で、タオによりコラッツ予想（偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１を足すとしう操作を繰り返すと、どんな自然数でも必ず１になる）は「ほとんど」解決された。

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