３ｎ＋１＝２^m

は３の倍数と２のベキが出現しているが，それと類似の式を紹介したい．

　ある数Ｍ，Ｎの自分自身を除く約数の和が相手の数になる数を親和数と呼びます．２２０（＝２^2・５・１１）と２８４（＝２^2・７１）はその最小のペアです．

　　２２０＝１＋２＋４＋７１＋１４２

　　２８４＝１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋２２＋４４＋５５＋１１０

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【１】イブン・クッラの公式

　ｐ＝３・２^n-1−１

　ｑ＝２ｐ＋１

　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　ｐが素数で，かつ，２ｐ＋１が素数であるから，ｐはソフィー・ジェルマン素数である．

　　ｎ＝２→（２２０，２８４）

　　ｎ＝４→（１７２９６，１８４１６）　　　（フェルマー）

　　ｎ＝７→（９３６３５８４，９４３７０５６）　　　（デカルト）

なお，この公式で小さい方は四面体数になる．

　この公式ですべての親和数を求められるわけにはない．その組み合わせのひとつにすぎないのである．（１１８４，１２１０）は２番目に小さい親和数，（２６２０，２９２４）は３番目の親和数，（５０２０，５５６４）は４番目の親和数であるが，この公式では見つけられない．

　（１２２８５，１４５９５），（１１７５２６５，１４３８９８３）は奇数の親和数．

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【２】フェルマーの構成法

　　２^nａｂと２^nｃは友愛数のペアである．

　　ａ＝３・２^n−１（素数）

　　ｂ＝３・２^n-1−１（素数）

　　ｃ＝９・２^2n-1−１（素数）

　ｐ＝ｂ＝３・２^n-1−１とおくと

　　ｑ＝２ｐ＋１＝３・２^n−１＝ａ

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ＝９・２^n-1−３・２^n−３・２^n-1＋１＋３・２^n-1−１＋３・２^n−１＝９・２^2n-1−１＝ｃ

であるから，これはイブン・クッラの公式と同じものである．

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【３】パガニーニの発見

　ａ＝３・２^n−１

　ｂ＝３・２^n-1−１

　ｃ＝９・２^2n-1−１

　ａ，ｂ，ｃがすべて素数となる整数ｎが存在すれば，ａ・ｂ・２^nとｃ・２^nは親和数になる．

（ｎ＝２）→（ａ，ｂ，ｃ）＝（１１，５，７１）→（２２０，２８４）は親和数

（ｎ＝４）→（１７２９６，１８４１６）は親和数・・・アルバンナが発見，フェルマーが再発見

（ｎ＝７）→（９３６３５８４，９４３７０５６）は親和数・・・デカルトが発見

　ところが，パガニーニはこの公式では発見できない（１１８４，１２１０）が２番目に小さい親和数であることを発見した．

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