任意の自然数ｎに対して

［１］ｎが奇数ならば，３ｎ＋１

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２

にする．この工程（ＨＯＴＰＯ手順，half or triple plus one）を繰り返し行うと常に１に到達するというのがコラッツ予想である（１９３０年代）．

　実行されたｎに対しては必ず１で終結している．

６→３→１０→５→１６→８→４→２→１

１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１

　常に１に到達するためには，途中で２^nになる必要がある．

　　１６→８→４→２→１

　したがって，

　　３ｎ＋１＝２^m

を満たす解（ｎ，ｍ）をすべて求めよという問題を考えることができる．

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　ｍｏｄｎあるいはｍｏｄ３として，

　　１＝２^m

を得ることができる．→ｍ＝０→ｎ＝０

しかし，これらはあまり有効ではない．

　そこで，ｍｏｄ２として

　　３ｎ＋１＝０

を得ることができる．→ｎは奇数

　ｍｏｄ４として

　　ｍ＞１のとき，３ｎ＋１＝０→ｎは４ｋ＋１となることが必要

　　（ｎ，ｍ）＝（５，４）では，５→１６→８→４→２→１

　　ｍ＝１のとき，３ｎ＋１＝２→ＮＧ

　　ｍ＝０のとき，３ｎ＋１＝１→ｎ＝０

　ｍｏｄ８として

　　ｍ＞２のとき，３ｎ＋１＝０→ｎは８ｋ＋５となることが必要

　　ｍ＝２のとき，３ｎ＋１＝４→ｎ＝１

　　ｍ＝１のとき，３ｎ＋１＝２→ＮＧ

　　ｍ＝０のとき，３ｎ＋１＝１→ｎ＝０

　ｍｏｄ１６として

　　ｍ＞３のとき，３ｎ＋１＝０→ｎは１６ｋ＋５となることが必要

　　ｍ＝３のとき，３ｎ＋１＝８→ＮＧ

　　ｍ＝２のとき，３ｎ＋１＝４→ｎ＝１

　　ｍ＝１のとき，３ｎ＋１＝２→ＮＧ

　　ｍ＝０のとき，３ｎ＋１＝１→ｎ＝０

を得ることができる．

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