ラグランジュの定理（４平方和定理）とは，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というものです．驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

　この問題はｎ次元空間における格子点の配置の問題として幾何学的に考えることができます．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

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【１】アルゴリズムは破綻する・・・「ラグランジュの定理」

　ｎを越えない最大の平方数は，ガウス記号を用いて［√ｎ］^2と表せるのですが，ｎを越えない最大の平方数をとり，その残りに対して同様に最大の平方数をとる，・・・，そして残りが平方数になるとおしまいというアルゴリズムによって，４個の平方数の和

　　ｎ＝ｎ1^2＋ｎ2^2＋ｎ3^2＋ｎ4^2

に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？　数値実験を続けてみることにします．

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

　１１＝３^2＋１^2＋１^2

　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2

　１３＝３^2＋２^2

　１４＝３^2＋２^2＋１^2

　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　１６＝４^2

　１７＝４^2＋１^2

　１８＝４^2＋１^2＋１^2

　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2

　２０＝４^2＋２^2

　２１＝４^2＋２^2＋１^2

　２２＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2

　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　素数２３では５個の平方和となり，このアルゴリズムは２３で破綻してしまいます．もちろん，２３は８ｎ＋７型の素数ですから，３個の平方和では表すことはできませんが，

　　２３＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように４個の平方和の形に表すことができます．

　また，

　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2＝２^2＋２^2＋２^2

　１８＝４^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2

　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋１^2

　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように，より少ない数の平方和として幾通りかに表すことのできる数もあります．

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【２】素数２３

　２３のように４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

２３は９個の３乗を必要とする数でもあるのです．

　そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．（８個の立方数の和として表せない自然数は，１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけである．）

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