［Ｑ］四面体のひとつの頂点に集まる３面の頂角α，β，γが与えられたとき，３つの二面角A,B,Cを求めよ．

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大円の弧で形成される球面三角形ABCについて、弧の長さをa,b,cとすると、二面角Cは

cosC=(cosc-cosacosb)/sinasinb

元の球面三角形の極三角形は内角がa,b,cの補角であるから

cosC=(cosγ-cosαcosβ)/sinαsinβ

が得られる

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補足したい

cは中心角AOB=cではかったものであるが、平面三角形の辺の長さc'は

c'=2sin(c/2)=(2-2cosc)^1/2

また、三角形の内角γではかると

c'=(2k^2-2k^2cosγ)^1/2となって、

1-cosc=k(1-cosγ)

cosc=1-k-k(cosγ)

c→γへの置換が可能となる???。

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どうもおかしい。

αβγは球面上の値ではないと思われるのであるが、もし球面上の値をすると,

球面半径ｒの円を描いて

cosα={cosa-(cosr)^2}/(sinr)^2

cosβ={cosb-(cosr)^2}/(sinr)^2

cosγ={cosc-(cosr)^2}/(sinr)^2

となって、

cosa=(cosr)^2-(sinr)^2cosα

cosb=(cosr)^2-(sinr)^2cosβ

cosc=(cosr)^2-(sinr)^2cosγ

(cosc-cosacosb)/sinasinbからはｒが消せない形になる

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