Ｓj＝Σ１／（８ｎ＋ｊ）

とおくと

　π＝４Ｓ1−２Ｓ4−Ｓ5−Ｓ6

　また，１の８乗根をζ＝（１＋ｉ）／√２として，

　　Ｌj＝ｌｎ（１−ζ^j／√２）

とおくと，

　　Ｌ0＝ｌｎ（１−１／√２）

　　Ｌ1＝１／２ｌｎ（１／２）−ｉａｒｃｔａｎ１＝Ｌ7~

　　Ｌ2＝１／２ｌｎ（３／２）−ｉａｒｃｔａｎ（１／／√２）＝Ｌ6~

　　Ｌ3＝１／２ｌｎ（５／２）−ｉａｒｃｔａｎ（１／３）＝Ｌ5~

　　Ｌ4＝ｌｎ（１＋１／√２）

　−Ｓj／２^j/2＝１／８（Ｌ0＋Ｌ1／ζ^j＋Ｌ2／ζ^2j＋Ｌ3／ζ^3j＋Ｌ4／ζ^4j＋Ｌ5／ζ^5j＋Ｌ6／ζ^6j＋Ｌ7／ζ^7j）

　π＝４Ｓ1−２Ｓ4−Ｓ5−Ｓ6＝２Ｌ0−（２−２ｉ）Ｌ1＋２Ｌ4＋（２＋２ｉ）Ｌ7

　ｌｎ２＝Ｓ2＋Ｓ4／２＋Ｓ6／４＋Ｓ8／８

　ｌｎ３＝２Ｓ2＋Ｓ6／２

　ｌｎ５＝２Ｓ2＋２Ｓ4＋Ｓ6／２

　√２ｌｎ（√２＋１）＝Ｓ1＋Ｓ3／２＋Ｓ5／４＋Ｓ7／８

　√２ａｒｃｔａｎ（１／√２）＝Ｓ1−Ｓ3／２＋Ｓ5／４−Ｓ7／８

　ａｒｃｔａｎ（１／３）＝Ｓ1−Ｓ2−Ｓ4／２−Ｓ5／４

　０＝８Ｓ1−８Ｓ2−４Ｓ3−８Ｓ4−２Ｓ5−２Ｓ6＋Ｓ7

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　　Ａ＝１／８ｌｎ（１＋ｚ）／（１−ｚ）

　　Ｂ＝１／２^7/2ｌｎ（１＋√２ｚ＋ｚ^2）／（１−√２ｚ＋ｚ^2）

　　Ｃ＝１／４ａｒｃｔａｎ（ｚ）

　　Ｄ＝１／２^5/2ａｒｃｔａｎ（√２ｚ／（１−ｚ^2））

　　Σｚ^8n+1／（８ｎ＋１）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+3／（８ｎ＋３）＝Ａ−Ｂ−Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+5／（８ｎ＋５）＝Ａ−Ｂ＋Ｃ−Ｄ

　　Σｚ^8n+7／（８ｎ＋７）＝Ａ＋Ｂ−Ｃ−Ｄ

　一般に

　　Σｚ^mn+a／（ｍｎ＋ａ）

＝−１／ｍ｛ｌｎ（１−ｚ）＋（−１）^a（m even）ｌｎ（１＋ｚ）＋ｆ（ｚ））

ｆ（ｚ）＝Σｃｏｓ２πｎａ／ｍ・ｌｎ（１−２ｚｃｏｓ２πｎ／ｍ＋ｚ^2）−２ｓｉｎ２πｎａ／ｍ・ａｒｃｔａｎ（ｚｓｉｎ（２πｎ／ｍ）／（１−ｚｃｏｓ）２πｎ／ｍ））

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