ａn＝（１＋１／ｎ）^n

　　２≦（１＋１／ｎ）^n＜３

　　（１＋１／ｎ）^n→ｅ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］単調増加であることを示したい．二項定理より

　　ａn＝１＋ｎ・１／ｎ＋（ｎ，２）（１／ｎ）^2＋・・・＋（ｎ，ｎ）（１／ｎ）^n

＝１＋１＋ｎ（ｎ−１）／２！ｎ^2＋＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３！ｎ^3＋・・・＋ｎ（ｎ−１）・・・＋１／ｎ！ｎ^n

＝１＋１＋（１−１／ｎ）／２！＋（１−１／ｎ）（１−２／ｎ）／３！＋・・・＋（１−１／ｎ）（１−２／ｎ）・・・（１−（ｎ−１）／ｎ）／ｎ！

＜１＋１＋（１−１／（ｎ＋１））／２！＋・・・＋（１−１／（ｎ＋１））（１−２／（ｎ＋１））／３！＋（１−１／（ｎ＋１））（１−２／（ｎ＋１））＋・・・（１−（ｎ−１）／（ｎ＋１））／ｎ！＋（１−１／（ｎ＋１））（１−２／（ｎ＋１））＋・・・＋ｎ／（ｎ＋１））／（ｎ＋１）！

＝ａn+1

［２］ａn＜３であることを示したい．

　　ａn≦１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋・・・＋１／ｎ！

また，２^n-1≦ｎ！より，ｎ＞３のとき

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／２^2＋・・・＋１／２^n-1

＝１＋１／１！＋１／２！＋１／２^2（１＋１／２＋１／２^2＋・・・＋１／２^n-3）

（１＋１／２＋１／２^2＋・・・＋１／２^n-3）→２より

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／２＝３

［３］ａn＜２＋１１／１２であることを示したい．

　　ａn≦１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋・・・＋１／ｎ！

また，２^n-1≦ｎ！より，ｎ＞４のとき

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／２^3＋・・・＋１／２^n-1

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／２^3（１＋１／２＋１／２^2＋・・・＋１／２^n-4）

＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋２／８

＜１＋１＋１／２＋１／６＋２／８＝２＋１１／１２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝