０＜（ｅ^π−π^e）＜１

を示したい．

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【１】わかっていること

［１］ｘ^y−ｙ^x＝１の整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，２）だけである（３^2−２^3＝１）．すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数である．

［２］ｘ^y−ｙ^x＝０　　（０＜ｘ＜ｙ）

　　２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４で，（ｘ，ｙ）がともに整数となるのは（ｘ，ｙ）＝（２，４）のみである（４^2−２^4＝０）．

［３］（ｘ，ｙ）＝（ｅ，ｅ），したがって，ｅ^e＝１５．１５４２・・・の周囲にｘ^y−ｙ^x＝０となる解が集積する．

［４］ｘ＝２〜３，ｙ＝３〜４にはｙ^x−ｘ^y＝１となる解が分布する．

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【２】Mathematicaによるグラフ表示

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，π^eについては，昔なら数表を使うか，計算尺(LL尺付き）を使うことになるが，Mathematicaにx^y-y^x＝0をｙについて解くための適切な特殊関数の機能があった．

［１］ｘ^y−ｙ^xの等高線表示

［ａ］ｘ^y−ｙ^x＝０

［ｂ］ｘ^y−ｙ^x＝１

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【３】Mathematicaによる解析

　x^y-y^x=0のyの解析解は得られるが，x^y-y^x==1をyに関して解くことは出来ないようだ．よって，Solve,NSolveで解を求めることは出来なかった．　　　（阪本ひろむ）

　ｆ（ｙ）＝ｅ^y−ｙ^e−１の数値解は

　　０，

　　１．８７４２２，

　　３．２１７３６・・・ｙ＝πは結構ぎりぎりの線なのである．

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