【１】シュタイナー数

　シュタイナーの関数を

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^1/x＝ｅｘｐ（ｌｏｇｘ／ｘ）＝ｅｘｐ（ｇ（ｘ））

とかけば，

　　ｙ’＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)

　１階微分ｙ’＝０となるのはｘ＝ｅのときだけで，２階微分ｙ”を求めればｘ＝ｅは最大値を与えることがわかる．

　　ｙ”＝（−３＋２ｌｏｇｘ）／ｘ^3

　　（−３＋２ｌｏｇｅ）／ｅ^3＜０

　あるいは，数値計算によって

　　ｆ（１）＝１

　　ｆ（２）＝２^1/2＞ｆ（１）

　　ｆ（３）＝３^1/3＞ｆ（２）

　　ｆ（４）＝４^1/4＝２^1/2＝ｆ（２）

より，

　　ｆ（１）＜ｆ（２）＜ｆ（３）＞ｆ（４）

ｆ（ｘ）は２と４の間にあるｘに対して最大になる．そしてｘ＝ｅのとき最大値ｙ＝１．４４４６６４７８６１・・・（シュタイナー数）を与えることがわかる．

　また，

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

について

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

のグラフを描いてみればｇ（ｘ）は幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

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【２】シュタイナー数（続き）

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^1/x

　　ｆ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)＝ｘ^1/x（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

より，ｘ＝ｅで極大値ｅ^1/eをとる．したがって

　　３^1/3＞π^1/π　→３^π＞π^3

　また，

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

　　ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

について

　　ｌｏｇ２／２＜ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇ３／３＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　３^π＞π^3

　なお，

　　ｌｏｇ３／３＞ｌｏｇ２／２→　３^2＞２^3

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