ｅ^π＞π^ｅは

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ、ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

より，

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

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［Ｑ］（０．９９）^99，１／（１．０１）^101，どちらが大きいか？

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［Ａ］　（９９／１００）^99？（１０１／１００）^-101を比較する．

　両辺の対数をとると

　　９９（ｌｏｇ９９−ｌｏｇ１００）？−１０１（ｌｏｇ１０１−ｌｏｇ１００）

　　（９９ｌｏｇ９９＋１０１ｌｏｇ１０１）／２？１００ｌｏｇ１００

　ここで，関数

　　ｆ（ｘ）＝ｘｌｏｇｘ

を考えると，

　　ｆ’（ｘ）＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｆ”（ｘ）＝１／ｘ＞０→下に凸．

　したがって，

　　（９９ｌｏｇ９９＋１０１ｌｏｇ１０１）／２＞１００ｌｏｇ１００

　　（０．９９）^0.99＞１／（１．０１）^1.01

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