【１】フェルマー・カタラン予想

　完全ベキ乗数ｘ^pとｙ^qの差が１になるのは

　　３^2−２^3＝１

しかないというカタラン予想は証明されたが，

　　ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^r

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＜１

の整数解は有限個しかないというフェルマー・カタラン予想は未解決である．

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【２】ビール予想（タイデマン・ザギエ予想）

　　ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^r

たとえば，１^n＋２^3＝３^2（カタラン），２^5＋７^2＝３^4，７^3＋１３^2＝２^9，２^7＋１７^3＋７１^2，３^5＋１１^4＝１２２^2，１７^7＋７６２７１^3＝２１０６３９２８^2，１４１４^3＋２２１３４５９^2＝６５^7，９２６２^3＋１５３１２２８３^2＝１１３^7，１３^8＋９６２２２^3＝３００４２９０７^2，３３^8＋１５４９０３４^2＝１５６１３^3などの指数ｐ，ｑ，ｒのどれかは２である．

　　ｘ，ｙ，ｚのどの２つも互いに素，ｐ，ｑ，ｒは３以上ならば，ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^rを満たすものは存在しない．

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