いったん超越数の問題から離れて完全ベキ乗数の問題に入りたい。

　ｘ^yの形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

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【１】ゴールドバッハの公式

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

　なお，近年には

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

が成り立つことも証明されたという．

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【２】フェルマー・カタラン予想

　完全ベキ乗数ｘ^pとｙ^qの差が１になるのは

　　３^2−２^3＝１

しかないというカタラン予想は証明されたが，

　　ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^r

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＜１

の整数解は有限個しかないというフェルマー・カタラン予想は未解決である．

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