階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式がある．スターリングの公式は

　　ｎ！〜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

というものである．

　ド・モアブルは

　　ｎ！〜Ｂ√（ｎ）（ｎ／ｅ）^n

　　Ｂ＝ｌｏｇ（１−１／１２＋１／３６０−１／１２６０＋１／１６８０−・・・）

であることを発見したが，その後，スターリングが

　　Ｂ＝√（２π）

であることを発見したとのことである．

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　スターリングの公式を誘導してみましょう．

ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ

　　　　　＝Σｌｏｇｘ

　ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，

　　ｎ！≒ｅｎ^nｅｘｐ（-n）

が得られます．

　　ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ），ただしｌｉｍｏ（ｎ）／ｎ＝０

としても大体了解されますが、もっと正確に近似すると

　∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ<ｌｏｇｎ！<∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より

ｎｌｏｇｎ−ｎ<ｌｏｇｎ！<（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

したがって、両辺の相加平均に近い

（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

であること，また，ウォリスの公式：

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（-n）

にたどりつきます。

　スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．

　　Γ（ｘ＋１）＝∫ｅ-tｔxｄｔ〜√（２πｘ）ｘxｅ-x

近似の程度を進めると

　　Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘx ｅ-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}

が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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