【１】ロスの定理（１９５５年）

代数的無理数はすべて２次で有理数近似可能であり、それ以上ではない。

数ｘがｎ次で有理数近似可能とは

　　|x-p/q|を満たす有理数p/qが無限にあるようなk(x)が存在するときをいう。

　ａｂｃ予想はロスの定理の強力版と考えることができる．

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　ａ，ｂ，ｃはいずれも２^x３^y５^zの形の自然数とする．このとき，

　　ａ^p＋ｂ^q＝ｃ^r

をみたすような（ａ，ｂ，ｃ）は有限個しかない．

［１］間隔２

　　３＋２＝５

　　５^2＋２＝３^3

［２］間隔３

　　５＋３＝２^3

　　５^3＋３＝２^7

　このような考え方がａｂｃ予想に繋がっていく．

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【２】ａｂｃ予想

　　ａ＝ｐ1^e1ｐ2^e2・・・ｐr^eｒのとき，相異なる素因数すべての積を

　　　ｒａｄａ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr

と定義する．たとえば，

　　ｒａｄ（１９８００）＝ｒａｄ（２^3３^2５^2１１）＝２・３・５・１１

　しかし，ＡＢＣ定理の類似：どの２つも互いに素ばａ，ｂ，ｃが，ａ＋ｂ＝ｃを満たすとき

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜ｒａｄ（ａｂｃ）

は成り立たない．たとえば，反例（カタラン）

　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，８，９）

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＝９

　　ｒａｄ（ａｂｃ）＝６

　そこで，条件を緩めた

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜（ｒａｄ（ａｂｃ））^Ｎ

なる整数（＞１）が存在する

には反例も証明も知られていない．もし，ａｂｃ予想が成り立つならば，ｎ＞３Ｎに対するフェルマーの定理

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n

も成り立つ．

　また，ａｂｃ予想といって複数種類ある．たとえば，これを精密化した

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜（ｒａｄ（ａｂｃ））^κ

は有限集合であるという，エステルレ・マッサー予想では，κ＝１は無限集合であり，κ＝１．５は１３，κ＝１．６は３つ，κ＝２はひとつも知られていない．

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