αが黄金比と関係していなければ

　　（α≠ν［ａ0：ａ1，・・・，ａn，１，１，１，・・・］）

定数√５を√８に大きくすることができる．

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【１】証明

　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・］を無理数で，黄金比に関係していないとすると，ａn≧２があることになる．

［１］無限個のａnが３以上である場合

<P />　　λn-1＞ａn≧３＞√８

　以下，大きいｎに対してａn≦２とする．

［２］ａn＝２，ａn+1＝１になるｎが無限にある場合

　　λn＝ａn＋１／（１＋１／・・）＋１／（ａn-1＋１／・・）≧２＋１／２＋１／３＝１７／６＞√８

［３］十分大きなｍに対して，ａm＝２である場合

　　ｎ＞ｍにおいて，λn＝［２：２，２，２・・・］＋１／［２：２，２，２・・・］＝［２：２，２，２・・・］＋［０：２，２，２・・・］

　　ｎ→∞のとき，λn＝１＋√２＋１／（１＋√２）＝√８

［３］の場合だけが√８より大きい数に置き換えることができない．

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